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2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学解析版

编辑:甜甜来源:网络时间:2011-08-08 14:56

  2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学解析版

  注意事项:

  1答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.并将准考证

  号条形码粘贴在答题卡上的指定位置,用2B铅笔将答题卡上试卷类型B后的方框涂黑。

  2选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

  如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。

  3填空题和解答题用05毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区

  域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

  4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

  第Ⅰ卷(共60分)

  一、选择题:本大题共l0小题.每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只

  有一项是满足题目要求的.

  1.设集合M={x|(x+3)(x-2)<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N=

  (A)[1,2)(B)[1,2](C)(2,3](D)[2,3]

  【答案】A

  【解析】因为,所以,故选A.

  2.复数z=(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为

  (A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

  【答案】D

  【解析】因为,故复数z对应点在第四象限,选D.

  3.若点(a,9)在函数的图象上,则tan=的值为

  (A)0(B)(C)1(D)

  【答案】D

  【解析】由题意知:9=,解得=2,所以,故选D.

  4.曲线在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是

  (A)-9(B)-3(C)9(D)15

  5.已知a,b,c∈R,命题“若=3,则≥3”,的否命题是

  (A)若a+b+c≠3,则<3

  (B)若a+b+c=3,则<3

  (C)若a+b+c≠3,则≥3

  (D)若≥3,则a+b+c=3

  【答案】A

  【解析】命题“若,则”的否命题是“若,则”,故选A.

  6.若函数(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=

  (A)(B)(C)2(D)3

  【答案】B

  【解析】由题意知,函数在处取得最大值1,所以1=sin,故选B.

  7.设变量x,y满足约束条件,则目标函数的最大值为

  (A)11(B)10(C)9(D)8.5

  【答案】B

  【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线平移至点A(3,1)时,目标函数取得最大值为10,故选B.

  8.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表

  根据上表可得回归方程中的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为

  (A)63.6万元(B)65.5万元(C)67.7万元(D)72.0万元

  【答案】B

  【解析】由表可计算,,因为点在回归直线上,且为9.4,所以,解得,故回归方程为,令x=6得65.5,选B.

  9.设M(,)为抛物线C:上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交,则的取值范围是

  (A)(0,2)(B)[0,2](C)(2,+∞)(D)[2,+∞)

  【答案】C

  【解析】设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心,抛物线C的准线方程为,由圆与准线相切知4<r,因为点M(,)为抛物线C:上一点,所以有,又点M(,)在圆,所以,所以,即有,解得或,又因为,所以,选C.

  的距离为,

  【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象,可得选C正确.

  11.下图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下图.其中真命题的个数是

  (A)3(B)2(C)1(D)0

  【答案】A

  【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱;容易判断②③可以.

  12.设,,,是平面直角坐标系中两两不同的四点,若(λ∈R),(μ∈R),且,则称,调和分割,,已知点C(c,o),D(d,O)(c,d∈R)调和分割点A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是

  (A)C可能是线段AB的中点

  (B)D可能是线段AB的中点

  (C)C,D可能同时在线段AB上

  (D)C,D不可能同时在线段AB的延长线上

  【答案】D

  【解析】由(λ∈R),(μ∈R)知:四点,,,在同一条直线上,

  因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,且,故选D.

  第II卷(共90分)

  二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.

  13.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生,为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查,应在丙专业抽取的学生人数为.

  【答案】16

  【解析】由题意知,抽取比例为3:3:8:6,所以应在丙专业抽取的学生人数为40=16.

  14.执行右图所示的程序框图,输入l=2,m=3,n=5,则输出的y的值是

  【答案】68

  【解析】由输入l=2,m=3,n=5,计算得出y=278,第一次得新的y=173;第二次得新的y=68<105,输出y.

  15.已知双曲线和椭圆有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为.

  16.已知函数=当2<a<3<b<4时,函数的零点.

  【答案】5

  【解析】方程=0的根为,即函数的图象与函数的交点横坐标为,且,结合图象,因为当时,,此时对应直线上的点的横坐标;当时,对数函数的图象上点的横坐标,直线的图象上点的横坐标,故所求的.

  三、解答题:本大题共6小题,共74分.

  17.(本小题满分12分)

  在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.

  (I)求的值;

  (II)若cosB=,

  【解析】(1)由正弦定理得所以=,即,即有,即,所以=2.

  (2)由(1)知=2,所以有,即c=2a,又因为的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得:

  ,即,解得a=1,所以b=2.

  18.(本小题满分12分)

  甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.

  (I)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;

  (II)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.

  【解析】(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2,乙男)、(甲男1,乙女1)、(甲男1,乙女2)、(甲男2,乙女1)、(甲男2,乙女2)、(甲女,乙女1)、(甲女,乙女2)、(甲女,乙男),共9种;选出的2名教师性别相同的结果有(甲男1,乙男)、(甲男2,乙男)、(甲女1,乙女1)、(甲女1,乙女2),共4种,所以选出的2名教师性别相同的概率为.

  (2)从报名的6名教师中任选2名,所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2,乙男)、(甲男1,乙女1)、(甲男1,乙女2)、(甲男2,乙女1)、(甲男2,乙女2)、(甲女,乙女1)、(甲女,乙女2)、(甲女,乙男)、(甲男1,甲男2)、(甲男1,甲女)、(甲男2,甲女)、(乙男,乙女1)、(乙男,乙女2)、(乙女1,乙女2),共15种;选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1,甲男2)、(甲男1,甲女)、(甲男2,甲女)、(乙男,乙女1)、(乙男,乙女2)、(乙女1,乙女2),共6种,所以选出的2名教师来自同一学校的概率为.

  19.(本小题满分12分)

  如图,在四棱台中,平面,底面是平行四边形,,,60°

  (Ⅰ)证明:;

  (Ⅱ)证明:.

  【解析】(Ⅰ)证明:因为,所以设

  AD=a,则AB=2a,又因为60°,所以在中,由余弦定理得:,所以BD=,所以,故BD⊥AD,又因为

  平面,所以BD,又因为,所以平面,故.

  (2)连结AC,设ACBD=0,连结,由底面是平行四边形得:O是AC的中点,由四棱台知:平面ABCD∥平面,因为这两个平面同时都和平面相交,交线分别为AC、,故,又因为AB=2a,BC=a,,所以可由余弦定理计算得AC=,又因为A1B1=2a,B1C1=,,所以可由余弦定理计算得A1C1=,所以A1C1∥OC且A1C1=OC,故四边形OCC1A1是平行四边形,所以CC1∥A1O,又CC1平面A1BD,A1O平面A1BD,所以.

  20.(本小题满分12分)

  等比数列中,分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且中的任何两个数不在下表的同一列.

  第一列第二列第三列

  第一行3210

  第二行6414

  第三行9818

  (Ⅰ)求数列的通项公式;

  (Ⅱ)若数列满足:,求数列的前项和.

  【解析】(Ⅰ)由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.

  (Ⅱ)因为=,所以

  =-=-=

  -,所以=-=-.

  21.(本小题满分12分)

  某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为立方米,且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.

  (Ⅰ)写出关于的函数表达式,并求该函数的定义域;

  (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的.

  【解析】(Ⅰ)因为容器的体积为立方米,所以,解得,所以圆柱的侧面积为=,两端两个半球的表面积之和为,所以+,定义域为(0,).

  (Ⅱ)因为+=,所以令得:;令得:,所以米时,该容器的建造费用最小.

  22.(本小题满分14分)

  在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直线于点.

  (Ⅰ)求的最小值;

  (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点;

  (ii)试问点,能否关于轴对称?若能,求出此时的外接圆方程;若不能,请说明理由.

  【解析】(Ⅰ)由题意:设直线,

  由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得:=,即,,所以中点E的坐标为E,因为O、E、D三点在同一直线上,所以,即,解得

  ,所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.

  (Ⅱ)(i)证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且?,所以,又由(Ⅰ)知:,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).

  (ii)假设点,关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,

  由(i)知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为,又因为,所以解得或6,又因为,所以舍去,即,此时k=1,m=1,E,AB的中垂线为2x+2y+1=0,圆心坐标为,G(,圆半径为,圆的方程为.综上所述,点,关于轴对称,此时的外接圆的方程为.

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